Теорема Гаусса — Ванцеля

Теорема Гаусса — Ванцеля утверждает, что правильный $n$-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n=2^k\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m$, где $p_i$ — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера $\varphi(n)$ является степенью 2-ки.

История

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n = 2^k, 3·2^k, 5·2^k и 3·5·2^k.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при $n=2^k\cdot p_1\cdots p_m$, где $p_i$ — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки.

• Построение правильного 17-угольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
• Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году.
• В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы О. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.

Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением. Дж. Литлвуд