Теорема Гаусса — Ванцеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Гаусса — Ванцеля утверждает, что правильный n-угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n=2^k\cdot p_1\cdot \ldots \cdot p_m, где p_i — различные простые числа Ферма. Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера \varphi(n) является степенью числа два.

История[править | править вики-текст]

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для n = 2k, 3·2k, 5·2k и 3·5·2k.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при n=2^k\cdot p_1\cdots p_m, где p_i — различные простые числа Ферма. (Здесь случай m = 0 соответствует n = 2k.) В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:

« Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением.[2]
»

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Friedrich Julius Richelot (1832). «De resolutione algebraica aequationis x257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata». Journal für die reine und angewandte Mathematik 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358.
  2. Дж. Литлвуд Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — С. 43. — ISBN 5-02-014332-4