Теорема Гаусса — Люка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Гаусса — Лукаса»)
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Гаусса — Лукаса

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена P(z) с комплексными коэффициентами множество нулей его производной P'(z) принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена P(z).


О доказательстве[править | править вики-текст]

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена P(z) находятся в полуплоскости {\rm Re} \, z<0, тогда в области {\rm Re} \, z\ge 0 справедливо неравенство:

{\rm Re}\,{P'(z) \over P(z)} > 0,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости {\rm Re} \, z<0.