Теорема Гильберта о нулях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть k — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), K — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим K[x_1,\ldots,x_n] — кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в поле K, пусть I — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество \hbox{V}(I), определяемое этим идеалом, состоит из всех точек x=(x_1,\dots,x_n)\in K^n таких, что f(x)=0 для любого f\in I. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен p\in k[x_1,\dots,x_n] зануляется на множестве \hbox{V}(I), то есть если p(x)=0 для всех x\in V(I), то существует натуральное число r такое, что p^r\in I.

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если I является собственным идеалом в кольце K[x_1,\dots,x_n], то \hbox{V}(I) не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен p(x)=1 имеет корни всюду на \hbox{V}(I), следовательно, его степень принадлежит I). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле K является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала (x^2+1) в \mathbb R[x] не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала J справедлива формула

\hbox{I}(\hbox{V}(J))=\sqrt{J}

где \sqrt{J} — радикал идеала J, а \hbox{I}(U) — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве U.

Из этого следует, что операции \hbox{I} и \hbox{V} задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в K^n и радикальными идеалами в K[x_1,\ldots,x_n].

Проективная версия Nullstellensatz[править | править вики-текст]

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть R=K[x_1,\dots,x_n], R_d — множество однородных многочленов степени d. Тогда

R_+ = \bigoplus_{d \ge 1} R_d

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества S \subseteq \mathbb{P}^n и однородного идеала I пусть

\begin{align}
\operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(S) &= \{ f \in R_+ | f(x) = 0 \;\forall x\in S \}, \\
\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I) &= \{ x \in \mathbb{P}^n | f(x) = 0 \;\forall f \in I \}.
\end{align}

Напомним, что f не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами x, в которых f(x)=0, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала I\in R_+ верно

\sqrt{I} = \operatorname{I}_{\mathbb{P}^n}(\operatorname{V}_{\mathbb{P}^n}(I)).

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]