Теорема Гильберта 90

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ги́льберта 90 — одно из основных утверждений для конечных циклических расширений Галуа.

Мультипликативная форма[править | править вики-текст]

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K, а \sigma - её образующая. Тогда норма любого элемента \beta\in E равна 1 тогда и только тогда, когда существует ненулевой элемент \alpha\in E, что \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}.

Доказательство[править | править вики-текст]

Достаточность очевидна: если \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}, то, учитывая мультипликативность нормы, имеем N(\beta)=\frac{N(\alpha)}{\sigma(\alpha)}. Так как норма для сепарабельных расширений равна произведению всех \sigma_i(\alpha), а применение \sigma к такому произведению приводит лишь к перестановке сомножителей, то в силу равенства числителя и знаменателя N(\beta)=1.

Для доказательства необходимости выпишем следующее отображение:

\mathrm{id}+\beta\sigma+\beta\sigma(\beta)\sigma^2+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}).

Согласно теореме о линейной независимости характеров это отображение не является нулевым. Поэтому существует элемент \gamma\in E, для которого

0\neq\alpha=\gamma+\beta\sigma(\gamma)+\beta\sigma(\beta)\sigma^2(\gamma)+\ldots+(\beta\sigma(\beta)\ldots\sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\gamma).

Если применить отображение \sigma к \alpha, а потом помножить полученное выражение на \beta, то первое слагаемое перейдёт во второе и т. д., а последнее перейдёт в первое, так как \beta\sigma(\beta)\ldots \sigma^{n-2}(\beta)\sigma^{n-1}(\beta)=N(\beta)=1.

Тогда получаем, что \beta\sigma(\alpha)=\alpha, деля на \sigma(\alpha)\neq 0 имеем \beta=\frac\alpha{\sigma(\alpha)}. Необходимость доказана.

Аддитивная форма[править | править вики-текст]

Пусть G — группа Галуа конечного циклического расширения E/K, а \sigma - её образующая. Тогда след любого элемента \beta\in E равен 0 тогда и только тогда, когда существует такой ненулевой элемент \alpha\in E, что \beta=\alpha-\sigma(\alpha).

Доказательство достаточости полностью аналогично мультипликативному случаю, а для необходимости рассматриваем элемент \gamma\in E, для которого \mathrm{tr}\gamma \neq 0 и строим требуемое \alpha в виде:

\alpha=\frac{1}{\mathrm{tr}\gamma}[\beta\sigma(\gamma)+(\beta+\sigma(\beta))\sigma^2(\gamma)+\ldots +(\beta +\ldots +\sigma^{n-2}(\beta))\sigma^{n-1}(\gamma)|.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967. — С. 243-244.

См. также[править | править вики-текст]