Теорема Грина — Тао

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Грина — Тао — теоретико-числовое утверждение, доказанное Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году[1], согласно которому последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Другими словами, существуют арифметические прогрессии простых чисел, состоящие из k членов, где k может быть любым натуральным числом. Доказательство заключается в расширении теоремы Семереди.

Дальнейшие работы[править | править вики-текст]

В 2006 году Тао и Тамар Циглер обобщили результат до полиномиальных прогрессий[2]. Более точно, для любого заданного полинома с целыми коэффициентами P1,…, Pk одной переменной m с нулевым постоянным членом имеется бесконечно много целых x, m, таких, что x + P1(m), …, x + Pk(m) простые числа. Специальный случай, когда полиномы — это m, 2m, …, km, влечёт за собой предыдущий результат (имеются арифметические прогрессии простых чисел длины k').

Численные результаты[править | править вики-текст]

18 января 2007 году Ярослав Вроблевский нашёл первый случай арифметической прогрессии из 24 простых чисел[3]:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 23.

Здесь константа 223 092 870 — это произведение простых чисел, меньших 23 (см. примориал).

17 мая 2008 Вроблевский и Раанан Чермони нашли последовательность из 25 простых чисел:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 24.

12 апреля 2010 Бенуа Перишон, пользуясь программой Вроблевского и Джефа Рейнолдса в проекте распределённых вычислений PrimeGrid, нашёл арифметическую прогрессию из 26 простых чисел:

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, от n = 0 до 25 (последовательность A204189 в OEIS).

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Green, Ben & Tao, Terence (2008), "«The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions»", Annals of Mathematics Т. 167 (2): 481–547, DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
  2. Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), "«The primes contain arbitrarily long polynomial progressions»", Acta Mathematica Т. 201: 213-305, DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .
  3. Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records.

Ссылки[править | править вики-текст]