Теорема Гюйгенса — Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Гюйгенса-Штейнера»)
Перейти к: навигация, поиск
Иллюстрация теоремы для момента площади.

Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции J тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_C относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J=J_C+md^2\,\!

где

J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
m — масса тела,
d — расстояние между указанными осями.

Вывод[править | править исходный текст]

Момент инерции, по определению:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r'}_i)^2\,\!

Радиус-вектор \vec{r'}_i\,\! можно расписать как сумму двух векторов:

\vec{r'}_i=\vec{r}_i+\vec{d}\,\!,

где \vec{d} — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i \vec{d} + \sum_{i=1}^n m_i (\vec{d})^2\,\!

Вынося за сумму \vec{d}, получим:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + 2 \vec{d} \sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!

Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:

\sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i=0\,\!

Тогда:

J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r}_i)^2 + d^2 \sum_{i=1}^n m_i \,\!

Откуда и следует искомая формула:

J=J_C + m d^2\,\!,

где J_C — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Пример[править | править исходный текст]

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен

J_C=\frac{mL^2}{12}.

Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

J=J_C+md^2\,\!

где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d=L/2:

J=J_C+m\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{mL^2}{12}+\frac{mL^2}{4}=\frac{mL^2}{3}.

Пересчёт тензора инерции[править | править исходный текст]

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции, что позволяет получать тензор \mathbf{J}_{ij} относительно произвольной точки из тензора \mathbf{I}_{ij} относительно центра масс. Пусть \mathbf{a} — смещение от центра масс, тогда

\mathbf{J}_{ij}=\mathbf{I}_{ij}+m(a^2\delta_{ij}-a_ia_j),

где

\mathbf{a}=a_1\mathbf{\hat{x}}+a_2\mathbf{\hat{y}}+a_3\mathbf{\hat{z}} — вектор смещения от центра масс, а \delta_{ij} — символ Кронекера.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при i=j) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

См. также[править | править исходный текст]