Теорема Дирихле о единицах

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (единиц) кольца алгебраических целых $\mathcal{O}_K$ числового поля $K$.

Формулировка

Пусть $K$ — числовое поле (т. е., конечное расширение $\Q$), а $\mathcal{O}_K$ — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов $\mathcal{O}_K$ равен $d=r+s-1$, где $r$ — число различных вложений $K$ в поле вещественных чисел $\R$, а $s$ — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в $\C$, не являющихся чисто вещественными.

Следствия и обобщение

В частности, поскольку для расширения степени n выполнено $r+2s=n$, то $d\le n-1$, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения $K$ в $\C$ чисто вещественные.

Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля $x^2-my^2=1$ выводится из этой теоремы, применённой к $\Q(\sqrt{m})$ — квадратичному расширению $\Q$.

Случай группы единиц максимального ранга связан с многомерными цепными дробями.

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.