Теорема Дирихле о единицах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Дирихле о единицах — теорема алгебраической теории чисел, описывающая ранг подгруппы обратимых элементов (также именуемых единицами) кольца алгебраических целых \mathcal{O}_K числового поля K.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть K — числовое поле (т. е., конечное расширение \Q), а \mathcal{O}_K — его кольцо целых чисел. Тогда ранг группы обратимых элементов \mathcal{O}_K равен d=r+s-1, где r — число различных вложений K в поле вещественных чисел \R, а s — число пар комплексно-сопряжённых различных вложений в \C, не являющихся чисто вещественными.


Следствия и обобщение[править | править вики-текст]

В частности, поскольку для расширения степени n выполнено r+2s=n, то d\le n-1, причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда все вложения K в \C чисто вещественные.

Существование нетривиальных целых решений уравнения Пелля x^2-my^2=1 выводится из этой теоремы, применённой к \Q(\sqrt{m}) — квадратичному расширению \Q.

Случай группы обратимых элементов максимального ранга связан[1] с многомерными цепными дробями.

Литература[править | править вики-текст]

  1. В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — С. 237.