Теорема Егорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Содержание

1 Формулировка
2 Замечания
3 См. также
4 Литература

[править] Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$ , так что $\mu(X) < \infty$ , и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ , сходящаяся почти всюду к $f$ . Тогда $\forall \varepsilon > 0,\; \exists X_{\varepsilon} \subset X$ , такое что $\mu(X \setminus X_{\varepsilon}) < \varepsilon$ , и последовательность ${f n}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\varepsilon}$ .

[править] Замечания

Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
Конечность $μ(X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m)$ , где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелева σ-алгебра на $\mathbb{R}$ , а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(\mathbb{R}) = \infty$ . Пусть $f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$ , где $\mathbf{1}_A$ обозначает индикатор-функцию множества $A$ . Тогда ${f n}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком множестве конечной меры.