Теорема Егорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка[править | править код]

Пусть дано пространство с конечной мерой так, что , и определённая на нём последовательность измеримых функций , сходящаяся почти всюду к . Тогда для любого существует множество такое, что , и последовательность равномерно сходится к на .

Замечания[править | править код]

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность принципиальна. Пусть, например, , где борелева σ-алгебра на , а мера Лебега. Заметим, что . Пусть , где обозначает индикатор-функцию множества . Тогда сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Литература[править | править код]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.