Теорема Егорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть дано пространство с конечной мерой (X,\mathcal{F},\mu) так, что \mu(X) < \infty, и определённая на нём последовательность измеримых функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty}, сходящаяся почти всюду к f. Тогда \forall \varepsilon > 0,\; \exists X_{\varepsilon} \subset X такое, что \mu(X \setminus X_{\varepsilon}) < \varepsilon, и последовательность \{f_n\} равномерно сходится к f на X_{\varepsilon}.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
  • Конечность \mu(X) принципиальна. Пусть, например, (X,\mathcal{F},\mu) = (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),m), где \mathcal{B}(\mathbb{R})борелева σ-алгебра на \mathbb{R}, а mмера Лебега. Заметим, что m(\mathbb{R}) = \infty. Пусть f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, где \mathbf{1}_A обозначает индикатор-функцию множества A. Тогда \{f_n\} сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]