Теорема Жордана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета).

Теорема Жордана гласит

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая \gamma разбивает плоскость \mathbb R^2 на две связные компоненты и является их общей границей. [1]


Из двух связных компонент одна B (внутренность \gamma) — ограниченная; характеризуется тем, что степень \gamma относительно любой точки в B равна \pm1; другая S (внешность \gamma) — неограниченная, и степень \gamma относительно любой точки в S равна нулю. [1]

Обобщения[править | править исходный текст]

Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое (n-1)-мерное подмногообразие в \mathbb R^n, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При n=3 это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего n-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра. [1]

История[править | править исходный текст]

Теорема была сформулирована и доказана Жорданом в 1887 году. Обычно считается[2], что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году. Однако Томас Хейлс[en] пишет[3], что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.

Элементарное доказательство теоремы Жордана предложил А. Ф. Филиппов в 1950 году[4].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 Математическая энциклопедия
  2. См., например, Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.
  3. Hales, Thomas. Jordan's proof of the Jordan Curve theorem (англ.) // Studies in Logic, Grammar and Rhetoric. — 2007. — Vol. 10. — № 23. — С. 45-60.
  4. А. Ф. Филиппов. Элементарное доказательство теоремы Жордана, УМН, 5:5(39) (1950), 173—176

Литература[править | править исходный текст]