Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Другая формулировка: Выпуклая оболочка конечномерного компакта — компакт[1].

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Пусть A \subset R^m — компакт в m-мерном евклидовом пространстве. Тогда \forall x \in co\ A (выпуклая оболочка A) является выпуклой комбинацией не более чем m + 1 точек множества A[2]:

co\ A = \left\{ x : x = \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i x_i(x),\quad x_i(x) \in A,  \quad \lambda_i \geqslant 0, \quad \sum_{i=1}^{m+1}\lambda_i = 1,\quad i = 1,\ 2,\ \dots,\ m+1\right\}

Связанные результаты[править | править вики-текст]

В случае, когда одна из координат точки x \in co\ A достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек A[2].

С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема Хелли[2].

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. — М.: «Советское радио», 1974. — 400 с.