Теорема Каратеодори о продолжении меры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце \mathcal{R} подмножеств множества X может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом \mathcal{R}. В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение[править | править вики-текст]

Пусть \mathcal{R} кольцо на множестве \,\Omega и \mu : R \to [0,+\infty] — мера на \mathcal{R}. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера \mu' : \sigma(\mathcal{R}) \to [0,+\infty], такая, что \,\mu' является продолжением \,\mu. (То есть, \mu'_{|_R} = \mu ).

Здесь \,\sigma(\mathcal{R}) — \sigma-кольцо, порожденное \mathcal{R}.

Если мера \mu σ-конечна, то \mu' является единственной и также σ-конечной.

Полукольцо[править | править вики-текст]

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семьи подмножеств, удовлетворяющих условиям:

  • \varnothing \in S
  • Для всех A, B \in S, также A \cap B \in S
  • Для всех A, B \in S, существуют такие попарно непересекающиеся множества K_i \in S, где i = 1,2,\ldots,n, что  A\setminus B = \biguplus K_i .

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо порождает кольцо, элементами которого являются:

R(S) = \{ A: A = \bigcup_{i=1}^{n}{A_i}, A_i \in S \}

Также мера, заданная на полукольце, распространяется на все кольцо:

\mu(A) = \sum_{p=1}^{n}{\mu(A_p)} for A = \biguplus_{p=1}^{n}{A_p}, with the Ap in S.

Построение продолжения[править | править вики-текст]

Пусть \mu — мера, определенная на кольце \mathcal{R} подмножеств множества \Omega \,.

Тогда можно определить \mu^* — функцию, определенную на A\in\mathcal{P}(\Omega ) так:

\mu^*(A)=\mathrm{inf}\{\sum_{k=1}^{+\infty}\mathrm{\mu}\,(E_k)\,\mid\,E_k\in\mathcal{R},\,A\subset\bigcup_{k=1}^{+\infty}E_k\}.

Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой \mu. Обозначим \mathcal{M}_\mu семью подмножеств A множества \Omega \,, для которых выполняется: Для всех E\subset \Omega \,, \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)=\mu^*(E).

Тогда \mathcal{M}_\mu является σ-кольцом, и на нем можно определить меру \overline\mu(A) = \mu^* (A) для всех A \in \mathcal{M}_\mu. Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с \mu на множествах кольца \mathcal{R}. Также \mathcal{M}_\mu содержит σ-алгебру \,\sigma(\mathcal{R}) и сужение \overline\mu на элементы \,\sigma(R) и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо \mathcal{M}_\mu является пополнением кольца \,\sigma(\mathcal{R}), соответственно, они совпадают, если определенная мера на \,\sigma(\mathcal{R}) является полной.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Если на действительной прямой взять полукольцо \mathcal{S} интервалов [a,b], \quad a < b, где мера [a,b] равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах \,\sigma (\mathcal{S}). Множеству \mathcal{M}_\mu здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
  • Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве X всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо рациональных чисел промежутка [a, b), где a < b — рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств X. Задав теперь \mu(A), равное количеству элементов A и \mu^'(A)= 2 \mu(A), имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны \infty), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть, в данном случае продолжение не является единственным.

Литература[править | править вики-текст]

  • Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
  • Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989