Теоремы Кельвина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Теорема Кельвина»)
Перейти к: навигация, поиск

Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).

Теорема Кельвина о безвихревом движении[править | править вики-текст]

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.


Доказательство первой теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-товихр.Что-тобезвихр.. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:


\Delta\!T=\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau [(\mathbf{V}+\mathbf{\Delta\!V})^2-V^2]d\tau = \rho\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau +\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau |\mathbf{\Delta\!V}|^2d\tau,

где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:


\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau=\iiint\limits_\tau \operatorname{grad}\varphi\cdot\mathbf{\Delta\!V}d\tau,

а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:


\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau=\iiint\limits_\tau \operatorname{grad}\varphi\cdot\mathbf{\Delta\!V}d\tau = \iiint\limits_\tau\operatorname{div}(\varphi\mathbf{\Delta\!V})d\tau - \iiint\limits_\tau\varphi\operatorname{div}(\mathbf{\Delta\!V})d\tau = \iint\limits_\sigma\varphi(\mathbf{\Delta\!V})_nd\sigma - \iiint\limits_\tau\varphi\Delta\!(\operatorname{div}\mathbf{V})d\tau,

где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:


\Delta\!T=\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau|\mathbf{\Delta\!V}|^2d\tau >0,

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема Кельвина[править | править вики-текст]

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.


Доказательство второй теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

\begin{align}
\frac{d}{dt}\int\limits_C \mathbf{V\delta r}=\int\limits_C\frac{d}{dt}(\mathbf{V\cdot\delta r}) = \int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\mathbf{V\cdot\frac{d}{dt}(\delta r)} = \\
=\int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\mathbf{V}\cdot\delta\left ( \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right ) = \int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\delta\left ( \frac{V^2}{2}\right ).
\end{align}

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

\frac{d}{dt}\Gamma_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{\delta r} = \oint\limits_C\mathbf{\dot{V}}\cdot\mathbf{\delta r} = \Gamma_C(\mathbf{\dot{V}}).

Теорема Кельвина о баротропной жидкости[править | править вики-текст]

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

при баротропном движении жидкости идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется.


Доказательство третьей теоремы Кельвина[править | править вики-текст]

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: \mathbf{\dot{V}}=-\operatorname{grad}\Pi:


\frac{d}{dt}\Gamma_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{\delta r} = \oint\limits_C\mathbf{\dot{V}}\cdot\mathbf{\delta r} = -\oint\limits_C\operatorname{grad}\Pi\cdot\delta\mathbf{r}=-\oint\limits_C\delta\Pi = 0,

следовательно, Г — постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

Литература[править | править вики-текст]

  • Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — (Классики отечественной науки). — ISBN 5-7107-6327-6
  • Сычев В. В., Башкин В. А. Ч. I // Лекции по теоретической гидродинамике. — М.: МФТИ, 2003. — 188 с. — ISBN 5-7417-0222-8