Теорема Котельникова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывает аналоговые и дискретные сигналы и гласит[источник?], что если аналоговый сигнал x(t) имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте f_c:

~f \geq 2 f_c

Пояснение[править | править вики-текст]

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в нуль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой f_c».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и, из теоремы Котельникова, вытекают два следствия:

  • любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой f>2f_c\;, где f_c\; — максимальная частота, которой ограничен спектр реального сигнала;
  • если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты дискретизации, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал x(t)\; можно представить в виде интерполяционного ряда:

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(k\Delta)\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{\Delta}\left(t - k\Delta\right)\right],

где \mathrm{sinc}(x)=\sin(x)/x — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям 0<\Delta\leqslant \frac{1}{2f_c}. Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала x(k\Delta).

История[править | править вики-текст]

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу 1928 года «Certain topics in telegraph transmission theory», в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер получил тот же результат[1]. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом[2][3]: «Любую функцию f(t)\;, состоящую из частот от 0 до f_c\;, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2f_c)\; секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) году доказал Клод Шеннон[4], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов[5]. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции, рассматривалась в математическом плане многими учеными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем[6].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов[7][8]. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции x(t) с финитным спектром (\mathrm{supp}\;\hat{x}=[-f_c,f_c]) на основе преобразований Фурье атомарных функций[9]:

x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x(k\Delta)\prod_{n=1}^{M}\mathrm{sinc}\left[\frac{\pi}{a^{n-1}\Delta}(t-k\Delta)\right]},

где параметры a, M удовлетворяют неравенству a^{M-1}(a-2)+1>0, а интервал дискретизации:

0<\Delta\leqslant\frac{1}{2f_c}\left[1+\frac{a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}\right].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation)
  2. Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. — С. 762-770.
  3. Харкевич А. А. Спектры и анализ — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89
  4. C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.
  5. К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича
  6. Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002. DOI:10.1109/5.993400
  7. Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.
  8. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.
  9. Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.

Литература[править | править вики-текст]

  • H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
  • Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.

Ссылки[править | править вики-текст]