Теорема Коши о среднем значении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции \ f(x) и \ g(x) такие, что:

  1. \ f(x) и \ g(x) определены и непрерывны на отрезке \ [a,b];
  2. производные \ f'(x) и \ g'(x) конечны на интервале \ (a,b);
  3. производные \ f'(x) и \ g'(x) не обращаются в нуль одновременно на интервале \ (a,b)
  4. g(a) \neq g(b);

тогда существует c \in (a,b), для которой верно:

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале (a,b).)

Геометрически это можно переформулировать так: если f и g задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр t), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами a и b, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от (f(a); g(a)) до (f(b); g(b)).

Доказательство[править | править исходный текст]

Для доказательства введём функцию

F(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а \frac {f'(c)} {g'(c)} равна как раз необходимому числу.

См. также[править | править исходный текст]