Теорема Кронекера — Вебера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Кронекера — Вебера — утверждение в алгебраической теории чисел, согласно которому каждое конечное абелево расширение поля рациональных чисел \Q, или, другими словами, каждое алгебраическое числовое поле, чья группа Галуа над \Q является абелевой, — является подполем некоторого кругового поля, то есть поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам.

Названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера, Кронекер осуществил основную часть доказательства в 1853 году, в 1886 году Вебер и Гильберт заполнили некоторые логические пробелы. Теорема может быть доказана прямыми алгебраическими построениями, но также является простым следствием результатов теории полей классов.

Для заданного абелевого расширения K поля \Q можно определить минимальное круговое поле, содержащее K. Для заданного K можно определить наименьшее целое число n, что K является подполем, поля порождённого корнем из единицы n-й степени. Например, для квадратичных полей таким числом является абсолютная величина их дискриминанта.

Вопрос распространения теоремы на произвольное числовое поле — одна из проблем Гильберта (12-я), по состоянию на 2014 год проблема остаётся нерешённой.

Ссылки[править | править вики-текст]