Теорема Крылова — Боголюбова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории динамических систем под теоремами Крылова — Боголюбова понимаются две теоремы, утверждающие существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Теоремы доказаны математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым.[1][2] (переиздано в[3]).

Формулировка теоремы[править | править исходный текст]

Инвариантные меры для отображений[править | править исходный текст]

Теорема Крылова — Боголюбова для динамических систем утверждает, что

Пусть \displaystyle F — непрерывное отображение метрического компакта \displaystyle X в себя.
Тогда на \displaystyle X существует \displaystyle F-инвариантная мера \displaystyle \mu.

Стоит отметить, что условие \displaystyle F-инвариантности, \displaystyle F_*\mu=\mu, означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества,


\forall A\in \mathcal{B}(X) \quad \mu(F^{-1}(A))=\mu(A);

при этом в случае необратимого отображения \displaystyle F мера \displaystyle F(A) не обязана равняться мере \displaystyle A. Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности x\mapsto 2x \mod 1, однако мера дуги \left[0, \frac13\right] не равна мере её образа, дуги \left[0, \frac23\right].

Инвариантные меры для марковских процессов[править | править исходный текст]

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

\Pr [ X_{t} \in A | X_{0} = x ] = P_{t} (x, A).
  • Теорема Крылова — Боголюбова утверждает, что если существует x\in X, для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что
(P_{t})_{\ast} (\mu) = \mu, \quad\forall t > 0.

Доказательство для динамических систем[править | править исходный текст]

Доказательство теоремы опирается на процедуру Крылова-Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера \displaystyle \mu_0, и рассматривается последовательность её временных средних:


\bar{\mu}_n=\frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F_*^j(\mu_0).

Временные средние являются всё более и более \displaystyle F-инвариантными:


F_* \bar{\mu}_n = \bar{\mu}_n + \frac{1}{n}(F_*^n(\mu_0)-\mu_0).

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения \displaystyle F. Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте \displaystyle F компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности \bar{\mu}_n найдётся — что и завершает доказательство.

В случае, если в качестве меры \displaystyle \mu_0 берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности \displaystyle \bar{\mu}_n соответствует существованию меры Синая-Рюэлля-Боуэна.

Обобщения[править | править исходный текст]

Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.

Ссылки[править | править исходный текст]

  1. Боголюбов Н. Н., Крылов Н. М. (1937): «Общая теория меры в нелинейной механике». — Киев.
  2. N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). «La theorie generalie de la mesure dans son application a l'etude de systemes dynamiques de la mecanique non-lineaire» (French). Ann. Math. II 38: 65—113. Zbl. 16.86.
  3. «Николай Николаевич Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. РАН. Том 1: Математика». — М.: Наука, 2005. ISBN 5-02-034463-X.