Теорема Кёнига (механика)

Теорема Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс.

Формулировка

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

$~{T = T_0 + T_r}$,

где T — полная кинетическая энергия, $~T_0$ — энергия движения центра масс, $~T_r$ — относительная кинетическая энергия.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

Вывод

Выразим относительную кинетическую энергию T_r системы S как энергию, вычисленной относительно подвижной системы координат. Пусть $\vec \rho$ — радиус-вектор рассматриваемой точки в подвижной системе координат. Тогда:

$T_r = \frac{1}{2} \int \frac{d\vec \rho}{dt}\frac{d\vec \rho}{dt}\,dm$

Если $\vec r_0$ — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а $\vec r$ — радиус-вектор рассматриваемой точки в исходной системе координат, то верно соотношение:

$\vec r = \vec r_0 + \vec \rho$

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, если начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учетом предыдущего соотношения:

$T = \frac{1}{2} \int \frac{d\vec r}{dt}\frac{d\vec r}{dt}\,dm = \frac{1}{2}\int (\frac{d\vec r_o}{dt}+\frac{d\vec \rho}{dt}) (\frac{d\vec r_o}{dt}+\frac{d\vec \rho}{dt})\,dm$

Раскрывая скобки и вынося из-под знака интеграла, получаем:

$T = \frac{1}{2}\frac{d\vec r_0}{dt}\frac{d\vec r_0}{dt}\int \,dm + \frac{d\vec r_0}{dt}\int \frac{d\vec \rho}{dt} \, dm + \frac{1}{2} \int \frac{d\vec \rho}{dt}\frac{d\vec \rho}{dt}\,dm$

Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию материальной точки, помещённой в начало координат подвижной системы и имеющей массу, равную массе этой системы. Второй член равен нулю, так как по предположению начало координат подвижной системы помещено в её центр масс, следовательно, $\int \vec \rho \, dm = 0$. Третий член равен T_r, введённой ранее относительной энергии системы.

См. также

• Закон сохранения энергии
• Кинетическая энергия

Литература

• «Основы теоретической механики». В. Ф. Журавлев. Изд. Физико-математической литературы. 2001 г.