Теорема Лагранжа об обращении рядов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть функция f(z) аналитична в точке z_0 и f'(z_0)\ne 0. Тогда в некоторой окрестности точки w_0=f(z_0) обратная к ней функция f^{-1}(w) представима рядом вида

f^{-1}(w)=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.

Применения[править | править исходный текст]

Ряд Бюрмана — Лагранжа[править | править исходный текст]

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции f(z) по степеням другой голоморфной функции w(z) и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть f(z) и w(z) голоморфны в окрестности некоторой точки a\in\C, притом w(a)=0 и a — простой нуль функции w(z). Теперь выберем некую область D\ni a, в которой f и w голоморфны, а w однолистна в \overline{D}. Тогда имеет место разложение вида:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty d_n w^n(z),

где коэффициенты d_n вычисляются по следующему выражению:

d_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)w'(\zeta)}{w^{n+1}(\zeta)}\,d\zeta=\frac{1}{n!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left\{f'(z)\frac{(z-a)^n}{w^n(z)}\right\}.

Теорема об обращении рядов[править | править исходный текст]

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида w=\sum_{n=1}^\infty c_nz^n. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда z=\sum_{n=1}^\infty d_nw^n:

d_n=\frac{1}{n!}\lim_{z\to 0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z}{w}\right)^n.

Обобщения[править | править исходный текст]

В условиях теоремы для суперпозиции вида F\circ f^{-1} справедливо представление в виде ряда

(F(f^{-1}(w))=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(F'(z)\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.

Литература[править | править исходный текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки[править | править исходный текст]