Теорема Лагранжа об обращении рядов

Пусть функция $f(z)$ аналитична в точке $z_0$ и $f'(z_0)\ne 0$. Тогда в некоторой окрестности точки $w_0=f(z_0)$ обратная к ней функция $f^{-1}(w)$ представима рядом вида

$f^{-1}(w)=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.$

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции $f(z)$ по степеням другой голоморфной функции $w(z)$ и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть $f(z)$ и $w(z)$ голоморфны в окрестности некоторой точки $a\in\C$, притом $w(a)=0$ и $a$ — простой нуль функции $w(z)$. Теперь выберем некую область $D\ni a$, в которой $f$ и $w$ голоморфны, а $w$ однолистна в $\overline{D}$. Тогда имеет место разложение вида:

$f(z)=\sum_{n=0}^\infty d_n w^n(z),$

где коэффициенты $d_n$ вычисляются по следующему выражению:

$d_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\frac{f(\zeta)w'(\zeta)}{w^{n+1}(\zeta)}\,d\zeta=\frac{1}{n!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left\{f'(z)\frac{(z-a)^n}{w^n(z)}\right\}.$

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида $w=\sum_{n=1}^\infty c_nz^n$. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда $z=\sum_{n=1}^\infty d_nw^n$:

$d_n=\frac{1}{n!}\lim_{z\to 0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(\frac{z}{w}\right)^n.$

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида $F\circ f^{-1}$ справедливо представление в виде ряда

$(F(f^{-1}(w))=z_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!}\left.\left(\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left(F'(z)\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)^n\right)\right)\right|_{z=z_0}(w-w_0)^n.$

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Lagrange expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Series Reversion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Bürmann-Lagrange series (англ.)