Теорема Лагранжа (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс).


Следствия[править | править вики-текст]

  1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).
  2. Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.
  3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
  4. Группа порядка p, где pпростое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)

История[править | править вики-текст]

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также[править | править вики-текст]