Теорема Лагранжа (теория групп)
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
|
Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности. |
[править] Следствия
- Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).
- Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.
- Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
- Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)
[править] История
Фактически, эта теорема была доказана Лагранжем в 1771 году. в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Точнее, он доказал теорему о многочленах, a не о конечных группах. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.
