Теорема Леви о монотонной сходимости

Теорема о монотонной сходимости (теорема Беппо́ Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа

Пусть $(X,\mathcal{F},\mu)$ — фиксированное пространство с мерой.

• Пусть на множестве X задана последовательность функций f_n, причем

$f_1(x)\le f_2(x)\le\ldots\le f_n(x)\le\ldots,$

функции f_n интегрируемы и их интегралы ограничены в совокупности:

$\int_X f_n(x)d\mu \le K.$

Тогда почти всюду существует конечный предел $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$, функция f интегрируема на X и $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_X f_n(x)d\mu=\int\limits_X f(x)d\mu$.

• Пусть ряд $\sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x)$ состоит из суммируемых неотрицательных функций. Тогда если интегралы от частичных сумм ряда ограничены в совокупности:

$\sum_{k=1}^n\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)\leqslant C$,

то ряд $\varphi(x)=\sum_{k=1}^\infty\varphi_k(x)$ сходится к почти всюду конечной суммируемой функции и

$\sum_{k=1}^\infty\int\limits_X\varphi_k(x)\mu(dx)=\int\limits_X\varphi(x)\mu(dx)$.

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов Ω, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

$\mathbb{E}\left[\lim\limits_{n\to \infty} X_n\right] = \lim\limits_{n\to\infty} \mathbb{E}X_n$.

См. также

• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.