Теорема Лежандра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение

ax^2+by^2=c

где a, b, c - целые положительные числа, имеет рациональное решение тогда и только тогда, когда число (-ab) является квадратичным вычетом по модулю c, число ac - квадратичным вычетом по модулю b, а число bc - квадратичным вычетом по модулю a.

Более симметричная формулировка теоремы следующая: диофантово уравнение aX^2+bY^2+cZ^2=0, у которого не все коэффициенты одного знака и a,b,c - попарно взаимно простые числе, имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда

  • -ab - квадратичный вычет по модулю c,
  • -bc - квадратичный вычет по модулю a,
  • -ca - квадратичный вычет по модулю b.

Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из принципа Хассе (или теоремы Минковского-Хассе) для квадратичных форм: квадратичная форма представляет нуль в \mathbb{Q} тогда и только тогда, когда она представляет нуль в \mathbb{R} и во всех полях p-адических чисел \mathbb{Q}_p. Для разрешимости в \mathbb{R} нужны разные знаки, для разрешимости в \mathbb{Q}_p для p\mid abc - вышеприведённые симметричные соотношения.

Литература[править | править вики-текст]

  • Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985. — С. 77-80. — 504 с.