Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее^[1]:

Если $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb{Q}$ , то $e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb{Q}$ , то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n})$ равна $n$

Часто используется другая эквивалентная формулировка^[2]:

Для любых различных алгебраических чисел $\alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n$ числа $e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел $\overline{\mathbb{Q}}$ .

[править] История

В 1882 Линдеман доказал, что $e α$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $α$ ^[3], а в 1885 Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

[править] Ссылки

↑ Eric W. Weisstein, Lindemann–Weierstrass theorem на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
↑ Alan Baker Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975.. Chapter 1, Theorem 1.4.
↑ F. Lindemann Über die Zahl π // Mathematische Annalen. — Т. 20 (1882). — С. 213-225.