Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее[1]:

Если \alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n — различные алгебраические числа, линейно независимые над \mathbb{Q}, то e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n} являются алгебраически независимыми над \mathbb{Q}, то есть, степень трансцендентности расширения \mathbb{Q}(e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n}) равна n

Часто используется другая эквивалентная формулировка[2]:

Для любых различных алгебраических чисел \alpha_1, \alpha_2, \dots \alpha_n числа e^{\alpha_1}, e^{\alpha_2}, \dots e^{\alpha_n} являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел \overline{\mathbb{Q}}.


История[править | править вики-текст]

В 1882 Линдеман доказал, что e^\alpha трансцендентно для любого ненулевого алгебраического \alpha[3], а в 1885 Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. Alan Baker Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975.. Chapter 1, Theorem 1.4.
  3. F. Lindemann Über die Zahl π // Mathematische Annalen. — Т. 20 (1882). — С. 213-225.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4