Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Теорема Лиувиля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться к рациональными числами. Именно, если $α$ — алгебраическое число степени $n$ , а $p$ и $q$ — любые целые рациональные числа, то имеет место неравенство

$\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^n}$

тде $C$ — положительная константа, зависящая только от $α$ и выражаемая в явном виде через сопряженные с $α$ величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

$\xi=\sum_{n=1}^\infty\frac1{2^{n!}}.$

[править] Обобщения

При $n = 2$ теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для $n\ge 3$ теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 г. Туэ установил, что для алгебраических чисел $α$ степени $n$ и $\nu>\frac n2+1$ справедливо неравенство

$\left|\alpha-\frac pq\right|>\frac C{q^\nu}$ . (*)

Зигель (Siegel) улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

$\nu>\min_{s=\{1,\;2,\;\ldots,\;n-1\}}\left(\frac n{s+1}+s\right)$ , где

s

— целое,

в частности при $\nu>2\sqrt n$ . Позже Ф. Дайсон (F. I. Dyson) доказал справедливость этого неравенства при $\nu>\sqrt {2n}$ . Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом $ν > 2$ . Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число $ξ$ , алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений $p / q$ , удовлетворяющих неравенству

$\left|\xi-\frac pq\right|<\frac 1 {q^2}$ .

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная $C=C(\alpha,\;\nu)$ в неравенстве зависит от величин $α$ и $ν$ .