Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема Лиувилля гласит

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Теорема утверждает сохранение во времени фазового объема, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля[править | править исходный текст]

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в 6N-мерном фазовом пространстве (N — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами q_i и сопряжёнными импульсами p_i, где i=1,\dots,d, d=3N. Тогда распределение в фазовом пространстве \rho(p_i,q_i) определяет вероятность \rho(p,q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp того, что система будет находиться в элементе объёма \mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию \rho(p_i,q_i;t) во времени t согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

 \dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}
 \dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция \rho определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

 \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla (\rho \, \mathbf{v})= \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} + \mathbf{v}\,\mathrm{grad}\rho =0,

где  \mathbf{v} — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

 \nabla (\rho \, \mathbf{v}) =  \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

 \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,

где H — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности d \rho/dt равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей (\dot p , \dot q) в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация[править | править исходный текст]

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — p_i — но сжимается по другой координате q_i так, что произведение \Delta p_i \Delta q_i остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объем) не изменяется.

Более точно, фазовый объём \Gamma сохраняется при сдвигах времени. Если

\int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,

и \Gamma(t) множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество \Gamma в момент времени t, тогда

\int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,

для всех времён t. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил \mathbf{F} с координатами \mathbf{x} и импульсами \mathbf{p}, теорему Лиувилля можно записать в виде

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,

где \mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}} — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана, и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил \mathbf{F}.

В классической статистической механике число частиц N велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае \partial\rho/\partial t=0 можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения \rho равна любой функции гамильтониана H, например, в распределении Максвелла-Больцмана \rho\propto e^{-H/kT}, где T — температура, k — постоянная Больцмана.

Смотрите также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль.

Запись через скобку Пуассона[править | править исходный текст]

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах (q^i,p_j) вид

\{A,B\} = \sum_{i=1}^{N} \left( 
- \frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} +
\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}}
\right)

уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем приобретает вид

\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}

Запись с использованием оператора Лиувилля[править | править исходный текст]

При помощи оператора Лиувилля

 i{\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

для гамильтоновых систем уравнение приобретает вид

\frac{\partial \rho }{\partial t}+i{\hat{L}}\rho =0.

Замечания[править | править исходный текст]

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

\frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[H,\rho]
где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.
  • Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия
 \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0, 
является существенным. В общем случае произвольной динамической системы
  \dot{q}_i  = Q_i\left(\vec p, \vec q, t\right),   \dot{p}_i  = P_i\left(\vec p, \vec q, t\right)  
уравнение для эволюции во времени плотности  \rho(\vec p, \vec q, t)  распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса
  \rho(\vec p', \vec q', t') d\Lambda' = \rho(\vec p, \vec q, t) d\Lambda,  
 t'=t+dt,  p_i'=p_i+P_i dt,  q_i'=q_i+Q_i dt,  d\Lambda'=d\Lambda\left[1+dt
      \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_i}+\frac{\partial P_i}{\partial p_i}\right)
\right] 
(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho Q_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho P_i)}{\partial p_i}\right)=0
(см. также Уравнение Фоккера — Планка), и в случае  Q_i=\partial H/\partial p_i, P_i=-\partial H/\partial q_i,   совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также[править | править исходный текст]