Теорема Лузина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной переменной. Согласно этой теореме каждая измеримая на отрезке \left [ a, b \right ] функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры.

Формулировка[править | править вики-текст]

Для того, чтобы функция f(x) была измерима на отрезке \left [ a, b \right ], необходимо и достаточно, чтобы она обладала на этом отрезке c - свойством.

Пояснения[править | править вики-текст]

Функция f(x), заданная на отрезке \left [ a, b \right ], обладает c - свойством, если для любого \epsilon > 0 найдется совершенное множество P \subset \left [ a, b \right ] такое, что \mu(P) > (b-a)-\epsilon и f(x) на P непрерывна.

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге [1]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.

Литература[править | править вики-текст]