Теорема Мак-Вильямс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории кодирования теоре́ма Мак-Ви́льямс устанавливает связь между весовой функцией линейного кода и весовой функцией двойственного ему кода. Одним из следствий теоремы является получение верхней границы мощности кода. Названа в честь английского математика Флоренс Джесси Мак-Вильямс.

Пусть C \subset \mathbb{F}_2^n двоичный линейный код длины n. Весовым распределением кода C называется числовая последовательность \{ A_w \}_{w = 0}^n, где \displaystyle A_w обозначает количество кодовых слов C весом w:

 A_w = \#\{c \in C \mid \mathsf{w}(c) = w \} .

Весовой функцией (или весовым энумератором) называется многочлен двух переменных

 W(C;x,y) = \sum_{w = 0}^n A_w x^w y^{n-w}.

Элементарные свойства весовой функции[править | править вики-текст]

  •  \displaystyle W(C;0,1) = A_{0} = 1.
  •  \displaystyle W(C;1,1) = \sum_{w=0}^{n}A_{w}=|C|.
  •  \displaystyle W(C;1,0) = A_{n} = 1, когда (1,\ldots,1)\in C, иначе \displaystyle W(C;1,0) = A_{n} = 0.
  •  \displaystyle W(C;1,-1) = \sum_{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w} = A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots+(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}.

Формулировка теоремы[править | править вики-текст]

Обозначим код, двойственный C, через

C^\perp = \{x \in \mathbb{F}_2^n \,\mid\, \forall c \in C: \langle x,c\rangle = 0 \mbox{  } \},

где <,> обозначает скалярное произведение векторов в векторном пространстве \mathbb{F}_2^n.

Теорема Мак-Вильямс гласит, что

W(C^\perp;x,y) = \frac{1}{\mid C \mid} W(C;y-x,y+x).

Литература[править | править вики-текст]

  • Pless V. Introduction to the theory of error-correcting codes. — Wiley, New York, § 8.2, 1998.
  • Lint van J.H. Introduction to coding theory. — Springer-Verlag, Berlin, § 3.5, 1999.
  • Roth R.M. Introduction to coding theory. — Cambridge University Press, Cambridge, § 4.4, 2006.

См. также[править | править вики-текст]