Теорема Монтеля о компактном семействе функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:

Пусть \{f_\alpha(z)\} ― бесконечное семейство голоморфных функций в области D комплексной плоскости z; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности f_{\alpha_i} можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри D, необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено внутри D.


Теорема Монтеля обобщается на области D в пространстве \mathbb C^n, n>1.

Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в \mathbb C^n.

Следствия[править | править вики-текст]

  • Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область D компактно лежит в области G, тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
  • Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).