Теорема Мореры

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция $f(z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру $\Gamma\subset D$ равен нулю, то есть $\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0$ то $f(z)$ — аналитическая функция в $D$.

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области $D$.

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в $D$, т. е. существует такая функция $F(z)$, что

$\frac{dF(z)}{dz} = f(z).$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная $f$ также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность $f_n$ аналитичных функций равномерно сходится к функции $f$, то

$\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$

и гамма-функции Эйлера

$\Gamma(\alpha) = \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt$

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой (итал.) в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Morera’s Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.