Теорема Мореры
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теорема Мореры представляет собой (неполное) обращение интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:
|
Если (однозначная) функция f(z) комплексного переменного z в области D непрерывна и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру то f(z) — аналитическая функция в D. |
Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием, чтобы обращались в нуль интегралы, взятые по границе любого треугольника в принадлежащего области D.
Содержание |
[править] Идея доказательства
Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в D, т. е. существует такая функция F(z), что
Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная f также будет аналитической.
[править] Применение
Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность fn аналитичных функций равномерно сходится к функции f, то
поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана
Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.
[править] История
Эта теорема была получена Гиасинто Морерой (Morera) в 1886 году.
[править] Литература
- Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
[править] Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Morera’s Theorem на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)
| Это незавершённая статья по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
равен нулю, то есть





