Теорема Мореры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Черновик [показать страницу] (сравнить)

Данная версия статьи не досматривалась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю досмотренную версию от 4 июля 2009, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 2 правки.

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Мореры представляет собой (неполное) обращение интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если (однозначная) функция $f (z)$ комплексного переменного $z$ в области $D$ непрерывна и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру $\Gamma\subset D$ равен нулю, то есть

$\int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0$

то $f (z)$ — аналитическая функция в $D$ .

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием, чтобы обращались в нуль интегралы, взятые по границе любого треугольника в принадлежащего области $D$ .

[править] Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в $D$ , т. е. существует такая функция $F (z)$ , что

$\frac{dF(z)}{dz} = f(z).$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная $f$ также будет аналитической.

[править] Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность $f n$ аналитичных функций равномерно сходится к функции $f$ , то

$\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$