Теорема Мореры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Если функция f(z) комплексного переменного z в области D непрерывна и интеграл от неё по любому замкнутому спрямляемому контуру \Gamma\subset D равен нулю, то есть

\oint\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0

то f(z) — аналитическая функция в D.

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области D.

Идея доказательства[править | править вики-текст]

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в D, т. е. существует такая функция F(z), что

\frac{dF(z)}{dz} = f(z).

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная f также будет аналитической.

Применение[править | править вики-текст]

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность f_n аналитичных функций равномерно сходится к функции f, то

\oint \lim_{n\to\infty} f_n(z) dz = \lim_{n\to\infty} \oint f_n(z) dz = 0

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

и гамма-функции Эйлера

\Gamma(\alpha) = \int \limits_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История[править | править вики-текст]

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой (итал.) в 1886 году.

Литература[править | править вики-текст]

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Ссылки[править | править вики-текст]