Теорема Мори

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Мори (англ. Morrie's law) — это случайное название следующего тригонометрического тождества:

 \cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ) \cdot \cos(80^\circ)=\frac{1}{8}.

Это частный случай более общего тождества

 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}

при n = 3 и α = 20°. «Теорема Мори» получила своё название благодаря Ричарду Фейнману, который использовал это тождество именно под этим именем. Фейнман употреблял это название потому, что в детстве он узнал указанное тождество от мальчика по имени Мори Якобс и впоследствии запомнил теорему на всю жизнь именно под этим именем.[1]

Подобное соотношение для синуса также имеет место:

 \sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ)=\frac{\sqrt 3\ }{8}.

Более того, разделив второе тождество на первое, получим тождество для тангенса:

 \operatorname{tg}(20^\circ) \cdot \operatorname{tg}(40^\circ) \cdot \operatorname{tg}(80^\circ)=\sqrt 3 = \operatorname{tg}(60^\circ). \,

Доказательство[править | править вики-текст]

Используем известную формулу для синуса двойного угла

 \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha). \,

Выразив отсюда  \cos(\alpha) , получим

 \cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}.

Тогда имеем


\begin{align}
\cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt]
\cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.
\end{align}

Перемножая соответственно левые части этих равенств друг на друга, и правые части - друг на друга, получаем:

 \cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=
\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.

После сокращения дробей останется синус из последнего числителя и синус из первого знаменателя, а также 2 в степени n в знаменателе:

 \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)},

Это тождество представляет собой общую форму записи теоремы Мори.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. W.A. Beyer, J.D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Ссылки[править | править вики-текст]