Теорема Новикова о компактном слое

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере $S^{3}$

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере $S^{3}$ имеет компактный слой, диффеоморфный тору $T^{2}$ и ограничивающий область $D^{2}\times S^{1}$ со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на $S^{3}$ имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором $T^{2}$.

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном $M^{3}$

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия $M^{3}$:

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии $M^{3}$ с заданным на нём гладким двумерным слоением $F$ выполняется одно из условий:

1. фундаментальная группа $\pi _{1}(M^{3})$ конечна,
2. вторая гомотопическая группа $\pi _{2}(M^{3})\neq 0$,
3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
4. существует слой $L\in F$ такой, что отображение $\pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})$, индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда $F$ имеет компактный слой рода $g\leq 1$. Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо $F$ включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам $S^{2}$ или проективным плоскостям $RP^{2}$.

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии $M^{3}$ с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на $M^{3}$

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса $C^{\infty }$.

В 1970 году было дано доказательство для класса $C^{2}$,

В 1975 году — для слоений класса $C^{1}$.

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса $C^{0}$. Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры $C^{0}$-слоений на сферах $S^{2k+1}$, $k>1$, не имеющих компактных слоев.

Обобщение теоремы Новикова на сфере $S^{3}$ на слоения с особенностями

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере $S^{3}$. Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

• Если $s=c$, слоение включает рибовскую компоненту.

• Если $s>c$, то $s=c+2$ и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере $S^{2}$.

• Если $s<c$, слоение может не иметь компактных слоев.

Литература

• С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.[1]