Теорема Новикова о компактном слое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Новикова о компактном слое: Двумерное слоение на трехмерном многообразии с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Теорема Новикова о компактном слое на сфере S^3[править | править вики-текст]

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере  S^3 имеет компактный слой, диффеоморфный тору  T^2 и ограничивающий область D^2\times S^1 со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на S^3 имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором T^2.

Теорема Новикова о компактном слое на произвольном M^3[править | править вики-текст]

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия M^3:

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии M^3 с заданным на нем гладким двумерным слоением F выполняется одно из условий:

  1. фундаментальная группа \pi_1(M^3) конечна,
  2. вторая гомотопическая группа \pi_2(M^3)\ne 0,
  3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
  4. существует слой L\in F такой, что отображение \pi_1(L)\to\pi_1(M^3), индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда F имеет компактный слой рода g\le 1. Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо F включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам S^2 или проективным плоскостям RP^2.

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии M^3 с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

Обобщение на случай негладкого слоения на M^3[править | править вики-текст]

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса C^\infty.

В 1970 году было дано доказательство для класса C^2[1],

в 1975 — для слоений класса C^1[2].

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса C^0. Этот результат тем более интересен, что еще в 1974 году П. Швейцер в построил примеры C^0-слоений на сферах S^{2k+1}, k>1, не имеющих компактных слоев[3].

Обобщение теоремы Новикова на сфере S^3 на слоения с особенностями[править | править вики-текст]

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (т. е. локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере S^3. Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема[4]: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

  • Если s>c, то s=c+2 и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере S^2.
  • Если s<c, слоение может не иметь компактных слоев.

Литература[править | править вики-текст]

  • С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
  • И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
  • D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225-255.[1]


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rozenberg H., Roussarie R. Reeb foliations.— Ann. of Math., 1970, v. 91, p. 1—24.
  2. Plante J. F. Foliations with measure preserving holonomy.— Ann. of Math., 1975, v. 102, №2, p. 327—361.
  3. Schweitzer P. A. Counterexample to the Seifert conjecture and opening leaves of foliations.— Ann. of Math., 1974, v. 100, № 2, p. 386—400.
  4. Wagneur E. A generalization of Novikov's theorem to foliations with isolated generic singularities — «Topology and its Appl., Proc. Conf. Mem. Univ. Newfoundland., St. John's, Canada, 1973, v.12, New York, 1975, p.189—198