Теорема Нэша о регулярных вложениях

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Нэша о регулярных вложениях:

Всякое m-мерное риманово многообразие (V^m,\;g) класса C^r, 3\le r\le\infty, допускает изометрическое C^r вложение в \R^n для достаточно большого n.

Нэш также дал явную оценку  n \ge m(m+1)(3m+11)/2, которая позднее несколько раз улучшалась. В частности теорема справедлива для  n\ge m^2+10m+3.[1]

Нэш также доказал аналогичный результат для аналитических вложений.

О доказательстве[править | править исходный текст]

Эта теорема получена в результате применения обобщения теоремы о неявной функции — теоремы Нэша — Мозера. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором L, и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор L локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения f:V^m\to \R^n по внутренним координатам V должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие V, достаточно близкое к компактному риманову многообразию V, допускающему свободное изометрическое вложение в \R^n, также допускает изометрическое вложение в \R^n.

Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение f:V\to \R^p. Пусть g_1<g метрика индуцированная f. Строится почти изометрическое вложение h:(V,\;g_2)\to \R^q, g_2=g-g_1, то есть вложение с индуцированной метрикой g'_2 произвольно близкой к g_2 (это выполняется с помощью конструкции, называемой скручиванием Нэша), после чего используем теорему Нэша — Мозера и получаем вложение f':V\to \R^p близкое к f:V\to \R^p с индуцированной метрикой g_1'=g-g_2'. Эти два вложения дают изометрическое вложение:

(f',\;h):V\to \R^p\times\R^q=\R^{p+q},   (f',\;h)(x)=(f'(x),\;h(x))

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Нэш, Дж., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4, с. 173—216;

Примечания[править | править исходный текст]

  1. см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
  2. Бураго, Иванов, Изометрические вложения финслеровых многообразий