Теорема Нётер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Эмми Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения.

Так, закон сохранения энергии соответствует однородности времени,

закон сохранения импульса — однородности пространства,

закон сохранения момента импульса — изотропии пространства,

закон сохранения электрического заряда — калибровочной симметрии и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Теорема установлена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и Э. Нётер. В наиболее распространенной формулировке была доказана Эмми Нётер в 1918 году.

Формулировка[править | править исходный текст]

Классическая механика[править | править исходный текст]

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов g^s(q_i), сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)

и функция Лагранжа L(q,\; \dot q,\; t) инвариантна относительно этих преобразований, то есть

\frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t),\; \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q,\; t),\; t) = 0 при s=0

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

I = \left( \vec \psi (\vec q,\; t);\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q,\; t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра \tau, причем в процессе движения t=\tau. Тогда из преобразований

g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)
g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q,\; t)

следует первый интеграл

I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q};\; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right)

Теория поля[править | править исходный текст]

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от n потенциалов, зависящих, в свою очередь, от k координат. Функционал действия будет иметь вид

S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.

Пусть однопараметрическая группа g^s диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}. Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

\ \partial_\mu J^\mu = 0,

поэтому поток J через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток J через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения[править | править исходный текст]

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x. Здесь Lлагранжиан, x — независимые переменные, u — зависимые переменные, то есть функции от x. L может зависеть также и от производных u по x, не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q,

где \mathrm{E} — операторы Эйлера-Лагранжа:

\mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots ~~~,

u^{\alpha}_{x_i} — производная функции u^{\alpha} по переменной x_i. Многоточие означает, что если L зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в \mathrm{E}. В компактной записи \mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}, где J — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная u^{\alpha}_J входит в L.

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала S с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править исходный текст]

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

\mathrm{Div} \vec P =0

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь \mathrm{Div} — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по x. \vec P — гладкие функции u, x и производных u по x.

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

  • для которых \mathrm{Div} \vec P =0 само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
  • или для которых \vec P обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
  • или для которых \vec P есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями \vec P и \vec R разность \vec P - \vec R даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

\mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta,

где \Delta — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: \vec \Delta=0. Для описываемого случая \Delta_\alpha=E_\alpha (L) и

\mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L).

Q_\alpha зависят от u, x и производных u по x и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии[править | править исходный текст]

Пусть имеется обобщённое векторное поле

\vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}.

«Обобщённое» понимается в том смысле, что \xi и \varphi могут зависеть не только от u и x, но и от производных u по x.

Определение: \vec v называется вариационной симметрией функционала S, если существует набор функций \vec\mathrm B(\vec u, \vec x,\dots ) такой, что

\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div} \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec \mathrm{B}.

\mathrm{pr}\, \vec v — продолжение \vec v. Продолжение учитывает, что действие \vec v на u и x вызывает также инфинетизимальное изменение производных, и задаётся формулами

\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr).

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме \vec v, слагаемые с такими \partial /\partial u^\alpha_J, для которых u^\alpha_J входят в L или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что \vec v — это инфенитизимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал S таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если \vec v является вариационной симметрией, то \vec v является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

 \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\vec \mathrm{E} (L)=0}=0.

Эта формула означает, что инфинетезимальные изменения выражений \mathrm{E}_\alpha (L), записанные здесь в виде \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L), обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей[править | править исходный текст]

Набор функций Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля \vec v. Вместо \vec v можно брать векторное поле

\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha},

которое называется эволюционным представителем \vec v.

\vec v и \vec v_Q определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики Q_\alpha, можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение \vec v_Q определяется аналогично продолжению \vec v, но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от \xi.

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер[править | править исходный текст]

Обобщённое векторное поле \vec v определяет группу симметрий функционала S в том и только в том случае, если его характеристика \vec Q является характеристикой закона сохранения \mathrm{Div} \vec P =0 для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править исходный текст]

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения[править | править исходный текст]

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

  • Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс p_x вдоль этой оси.
  • Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
  • Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры[1].

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.

Ссылки[править | править исходный текст]