Теорема Пайерлса

Теорема Пайерлса — теорема квантовой статистической физики. Сформулирована и доказана Рудольфом Пайерлсом в 1930 году.

Формулировка

Пусть $H$ есть эрмитов оператор Гамильтона квантовой системы, $\left\{\Phi _{n}\right\}$ есть произвольная ортонормированная совокупность волновых функций системы, $Q$ - статистическая сумма. Тогда справедливо неравенство:

$Q\geqslant \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}(1)$

Равенство имеет место в том случае, когда $\left\{\Phi _{n}\right\}$ есть полная система собственных функций оператора $H$.

Доказательство

Пусть $\left\{\Phi _{n}\right\}$ есть полная система ортонормированных волновых функций, удовлетворяющих граничным условиям и требованиям симметрии задачи. Тогда статистическая сумма $Q$ удовлетворяет тождеству

$Q\equiv \sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})})$.

Перепишем доказываемое равенство $(1)$ в виде:

$Q\geqslant q$,

где

$q\equiv \sum _{n}e^{-\beta (\Phi _{n},H\Phi _{n})}$

Пусть $\Psi _{n}$ есть полная система ортонормированных собственных функций оператора $H$:

$H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}$.

Поскольку оператор $H$ эрмитов, собственные значения $E_{n}$ действительны. Существует унитарное преобразование $S_{nm}$, переводящее $\left\{\Psi _{n}\right\}$ в $\left\{\Phi _{n}\right\}$:

$\Phi _{n}=\sum _{m}S_{nm}\Psi _{m}$,

где $\left\{S_{nm}\right\}$ - совокупность комплексных чисел, удовлетворяющих условию:

$\sum _{l}S_{ln}^{*}S_{lm}=\sum _{l}S_{nl}^{*}S_{ml}=\delta _{nm}$.

Поэтому

$Q=\sum _{n}(\Phi _{n},e^{-\beta H}\Phi _{n})=\sum _{n}(\Psi _{n},e^{-\beta H}\Psi _{n})=\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}$.

Справедливо уравнение:

$Q-q=\sum _{n}\left(\sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}-e^{-\beta \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}}\right)(2)$.

Для любого $n$ следующие выражения удовлетворяют требованиям леммы:

${\overline {E}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}E_{l}$,

${\overline {f(E)}}\equiv \sum _{l}|S_{nl}|^{2}e^{-\beta E_{l}}$.

В уравнении $(2)$ каждый член суммы имеет вид ${\overline {f(E)}}-f({\overline {E}})$ и согласно лемме положителен. Поэтому и вся сумма $Q-q\geqslant 0$, что завершает доказательство теоремы.

Лемма

Пусть $\left\{x_{n}\right\}$ есть совокупность действительных чисел, $\left\{c_{n}\right\}$ есть совокупность действительных чисел, удовлетворяющих условиям $c_{n}\geqslant 0$ и $\sum _{n}c_{n}=1$, $\backprime f''(x)\geqslant 0$. Обозначим по определению ${\overline {f(x)}}\equiv \sum _{n}c_{n}f(x_{n})$ для любой функции $f(x)$. Тогда выполняется неравенство:

${\overline {f(x)}}\geqslant f({\overline {x}})$.

По теореме о среднем значении:

$f(x)=f({\overline {x}})+(x-{\overline {x}})f'({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}(x-{\overline {x}})^{2}f''(x_{1})$, где $x_{1}$ - фиксированное действительное число.

Используя условие $\sum _{n}c_{n}=1$ получаем:

${\overline {f(x)}}=f({\overline {x}})+{\frac {1}{2}}{\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}f''(x_{1})$.

Второй член здесь не отрицателен, потому что $c_{n}\geqslant 0$ и $f''(x)\geqslant 0$.

Лемма доказана.

Литература

• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 520.