Теорема Пикара (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории функций комплексного переменного в честь Ш. Э. Пикара названы две теоремы, традиционно называемые большая и малая теоремы Пикара.

Малая теорема Пикара[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Областью значений целой функции является вся комплексная плоскость, за исключением, быть может, лишь одной точки.

Доказательство[править | править вики-текст]

Малая теорема Пикара является частным случаем теоремы Ландау. Покажем, что, предположив, что целая функция f(z) выпускает два различных конечных значения a и b и не равна тождественно постоянному, мы немедленно придем к противоречию на основе теоремы Ландау.

Рассмотрим функцию F(z) = \frac{f(z)-a}{b-a}. Она голоморфна во всей плоскости, не принимает значений 0 и 1 и не равна тождественно постоянному. Следовательно, найдется такая точка - примем ее за начало координат, в которой производная \backprime F'(0) = \beta не равна нулю. Пусть разложение нашей функции в степенной ряд будет F(z) = \alpha + \beta z + a_{2} z^{2} + ....

Так как функция F(z) голоморфна и не принимает значений 0 и 1 внутри круга произвольного радиуса R : |z| < R, то по теореме Ландау имеем R < \Omega(\alpha, \beta).

Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число R, а в правой - постоянное число \Omega(\alpha, \beta).

Большая теорема Пикара[править | править вики-текст]

Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности U(z_0) точки z_0 \in \Bbb C и имеет в точке z_0 существенную особенность. Тогда f принимает в U(z_0) все значения, кроме, быть может, одного.

Она является в некотором смысле обобщением теоремы Сохоцкого. При доказательстве используется неравенство Шоттки.

Примечания[править | править вики-текст]

  • Фактически, малая теорема Пикара является следствием большой, так как, по теореме Лиувилля, целая функция либо является многочленом, либо имеет на бесконечности существенную особенность.
  • Большая теорема Пикара допускает обобщение на случай мероморфных функций. Пусть M — риманова поверхность, \mathbf{P}^1\Bbb{C} — сфера Римана, f\colon M \setminus {w} \to \mathbf{P}^1\Bbb{C} — голоморфная функция, имеющая в точке w существенную особенность. Тогда в любой окрестности U(w)\sub M точки w функция f принимает почти все значения на \mathbf{P}^1\Bbb{C}, за исключением не более чем двух.
Например, мероморфная функция
f(z) = \frac{1}{1- \exp{1/z}}
имеет существенную особенность в точке z=0 и достигает \infty в любой окрестности U(0), но нигде не равна 0 или 1.

Литература[править | править вики-текст]

  • Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного, — М.: Физматкнига, 2003. — М., Издательство МФТИ, 2003. — 208 с — ISBN 5-89155-115-9 (ошибоч.)
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, — СПб.: Лань, 2004. — 336 с — ISBN 5-8114-0568-5 (ISBN 5-8114-0567-7)
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — М., 1977.