Теорема Пика (комплексный анализ)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика, инвариантная форма леммы Шварца, — обобщение леммы Шварца, состоящее в следующем:

Пусть w=f(z) — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

Q=\left\{z\in\C:|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Тогда для любых точек z_1 и z_2 круга Q неевклидово расстояние d(w_1,\;w_2) их образов w_1=f(z_1), w_2=f(z_2) не превосходит неевклидова расстояния d(z_1,\;z_2).

Равенство достигается только в том случае, когда w=f(z) есть дробно-линейная функция, отображающая круг Q на себя.


Условие

d(w_1,\;w_2)\leqslant d(z_1,\;z_2)

эквивалентно следующему неравенству:

\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|\leqslant\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}.

Если z_1 и z_2 бесконечно близки, оно превращается в

\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2}\leqslant\frac{1}{1-\left|z\right|^2}.

Литература[править | править вики-текст]

  • Рiсk G. Mathematische Annalen. — 1016. — Bd 77. — S. 1—6.
  • Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.