Теорема Пуанкаре о векторном поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также теорема Пуанкаре—Хопфа, теорема об индексе) — одна из теорем, относящаяся к области дифференциальной топологии и теории динамических систем.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть на гладком замкнутом двумерном многообразии M определено гладкое векторное поле V, имеющее конечное число изолированных особых точек A_1,A_2,\dots,A_n. Тогда

\sum_{i=1}^{n} J_{A_i}(V)=\chi(M),

здесь J_{A_i}(V) — индекс точки A_i относительно поля V и число \chi(M) — эйлерова характеристика многообразия M.

Из этой теоремы, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного без особых точек (эйлерова характеристика сферы равна двум), а на двумерном торе — может существовать (эйлерова характеристика тора равна нулю, в качестве поля без особых точек можно взять поле скоростей при вращении тора вокруг своей оси).

История[править | править вики-текст]

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году[1].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара. // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223).