Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Теорема Пуанкаре — Бендиксона — теорема в теории динамических систем, описывающая возможные типы предельного поведения траектории векторного поля на плоскости или на сфере. Теорема утверждает, что предельное поведение траекторий в этом случае регулярно, и не может быть хаотическим (невозможно даже наличие всюду плотных орбит).

Формулировка

Пусть задано векторное поле класса $C^1$ на сфере $S^2$ (или на плоскости $R^2$, или в области на плоскости — в последнем случае, направленное внутрь на границе области), имеющее лишь конечное число особых точек. Тогда $\omega$-предельное множество любой траектории это либо неподвижная точка, либо периодическая траектория, либо объединение особых точек и соединяющих их сепаратрис.

См. также

• Поток Черри
• Мешок Бендиксона
• Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Литература

• [KH] А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 455. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
• [I] Ю. С. Ильяшенко, Эволюционные процессы и философия общности положения, М.: МЦНМО, 2007.