Теорема Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пуассона — теорема в теории вероятностей.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли. Пусть p_n — вероятность «успеха», \mu_n — количество «успехов».

Тогда если

  1. \lim_{n \to \infty} p_n = 0 ;
  2. \lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda ;
  3. \lambda > 0 ;
то
\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} .

Доказательство[править | править вики-текст]

Используя формулу Бернулли, получим, что

\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = C_n^m (p_n)^m (1-p_n)^{n-m} = \cfrac {n!} {m!(n-m)!} \bigg( \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} =
 = \cfrac {1} {m!} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} \bigg( \lambda + o \bigg( \lambda \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} ,
так как
\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda \; \Leftrightarrow \; p_n = \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)
при
\lim_{n \to \infty} \cfrac {o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)} {\cfrac {\lambda} {n}} = 0 .

Но так как

  1. \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} = \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1)} {n} \bigg) \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+2)} {n} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n)} {n} \bigg) = 1 ;
  2. \lim_{n \to \infty} (\lambda + o(\lambda))^m = \lambda ^m ;
  3. \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} = e^{-\lambda} ,
то полученное равенство превращается в
\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} .
Q.E.D.