Теорема Пэли — Винера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Пэли-Винера — совокупность всех целых функций f(z) экспоненциального типа \leq\sigma, для которых \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2dx<\infty совпадает с множеством функций f(z), допускающих представление f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\sigma}^{+\sigma}e^{izu}\phi(u)du, где \phi(u) \in L^{2}(-\sigma,+\sigma).

Пояснения[править | править вики-текст]

Целой функцией экспоненциального типа называется целая функция f(z), которая при любом z удовлетворяет неравенству вида |f(z)|\leq A e^{B|z|}, где числа A, B от z не зависят. Экспоненциальным типом функции f(z) называется точная нижняя грань значений константы B, при котором имеет место это неравенство. Экспоненциальный тип находится по формуле \sigma=\bar{\lim_{|z|\to\infty}}\frac{ln|f(z)|}{|z|}. Под L^{2}(-\sigma,+\sigma) понимают совокупность всех измеримых в интервале (-\sigma,+\sigma) функций, квадрат модуля которых интегрируем в смысле Лебега.

Теорема Пэли — Винера — Шварца для обобщенных функций[править | править вики-текст]

Если обобщенная функция F сосредоточена в области G_{b}:|x| \leq b, то ее преобразованием Фурье является целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа \leq b. Наоборот, пусть f(z)=f(z_{1},...z_{n}) — целая аналитическая функция 1-го порядка роста и типа \leq b, которая возрастает при |x| \to \infty не быстрее некоторой степени |x|^q, и (f,\phi)=\int f(x) \phi(x) dx — соответствующий этой функции функционал в пространстве Z. Тогда преобразование Фурье \hat f функционала f сосредоточено в области G_b.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Норберт Винер «Я-математик», М., 1964 г., 356 стр., тир. 50000 экз., В 48 51 (09) УДК 510 (092), гл. 8 «Снова дома 1932—1933», с. 160—168;
  2. Винер Н., Пэли Р. «Преобразование Фурье в комплексной области», М., Наука, 1964;
  3. Н. И. Ахиезер «Лекции по теории аппроксимации», изд. 2-е, М., «Наука», 1965, 517.2 А 95 УДК 517.51, гл. 4 «Некоторые экстремальные свойства целых функций экспоненциального типа», п. 82 «Теорема Винера-Пэли», с. 179-82;
  4. «Функциональный анализ», изд. 2, ред. С. Г. Крейн, гл. 10 «Обобщенные функции», п. 4 «Преобразование Фурье обобщенных функций», пп 7 «Теорема Пэли-Винера-Шварца», с 511;