Теорема Рауса — Гурвица

Для термина «Раус» см. также другие значения.

Для термина «Гурвиц» см. также другие значения.

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица.

Условные обозначения

Пусть $f(z)$ — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени $n$. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии $z=ic$ где $i$ — мнимая единица и $c$ — вещественное число). Давайте обозначим $P_{0}(y)$ (многочлен степени $n$) и $P_{1}(y)$ (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем $n$) через $f(iy)=P_{0}(y)+iP_{1}(y)$, относительно вещественной и мнимой части $f$ мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• $p$ — число корней $f$ в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $q$ — число корней $f$ в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• $\Delta \arg f(iy)$ — изменение аргумента $f(iy)$, когда $y$ пробегает от $-\infty$ до $+\infty$;
• $w(x)$ — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из $P_{0}(y)$ и $P_{1}(y)$ с помощью алгоритма Евклида;

• $I_{-\infty }^{+\infty }r(x)$ — индекс Коши рациональной функции $r(x)$ на вещественной прямой.

Пусть $f(z)$ — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. $f$ он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим $f$ в сумму:

$f(z)=g(z^{2})+zh(z)$.

Обозначим коэффициенты $g$ как $a_{j}^{0}$, а $h$ — как $a_{j}^{1}$. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена $g$ является $a_{0}^{0}$.

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

$p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}=w(+\infty )-w(-\infty ).$

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента $f(iy)$ положительно, тогда $f(z)$ имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство $p-q=w(+\infty )-w(-\infty )$ может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть $p+q$, а $w$ из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае $w$ относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Основная статья: Критерий Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

$H_{f}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&&\\a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&&\\&a_{1}&a_{3}&\dots &a_{1+2\cdot [{\frac {n-1}{2}}]}&\\&a_{0}&a_{2}&\dots &a_{2\cdot [{\frac {n}{2}}]}&\\&\vdots &&&\vdots &\\&&&&\dots &a_{n}\end{pmatrix}},$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если $f$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Основная статья: Критерий Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами $g$ и $h$, определяет последовательность $a_{0}^{1},a_{0}^{2},\dots ,a_{0}^{n}$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если $f$ — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи $a_{0}^{i}$ число $i$ — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице $H_{f}$, мы получим диагональную матрицу $H_{f}^{*}$. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы $h_{j,j}^{*}$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу $H_{f}$, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты $h_{j,j}^{*}$ соответствуют коэффициентам $a_{0}^{j}$, мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как $f(z)$ — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда $p-q=n$. Таким образом получаем условия на коэффициенты $f(z)$, накладывая дополнительные условия $w(+\infty )=n$ и $w(-\infty )=0$.

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Маркеры устойчивости линейных динамических систем

Литература

• Гантмахер Ф. Р.  Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
• Постников М. М.  Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981. — 176 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Теорема Рауса-Гурвица (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.