Теорема Рауса — Гурвица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Ра́уса — Гу́рвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 г. А. Гурвицем и названа в честь Э. Дж. Рауса (предложившего в 1876 г. другой — но эквивалентный критерию Гурвица — критерий устойчивости многочлена) и А. Гурвица[1].

Условные обозначения[править | править исходный текст]

Пусть f(z) — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени n. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии z=ic где i — мнимая единица и c — вещественное число). Давайте обозначим P_0(y) (многочлен степени n) и P_1(y) (ненулевой многочлен степени строго меньшей, чем n) через f(iy)=P_0(y)+iP_1(y), относительно вещественной и мнимой части f мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

  • p — число корней f в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • q — число корней f в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
  • \Delta\arg f(iy) — изменение аргумента f(iy), когда y пробегает от -\infty до +\infty;
  • w(x) — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из P_0(y) и P_1(y) с помощью алгоритма Евклида;

Пусть f(z) — многочлен Гурвица над полем комплексных чисел (т. е. f он не имеет комплексных коэффициентов и все его корни лежат в левой полуплоскости). Разложим f в сумму:

f(z)=g(z^2)+zh(z).

Обозначим коэффициенты g как a_j^0, а h — как a_j^1. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена g является a_0^0.

Формулировка[править | править исходный текст]

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса — Гурвица формулируется следующим образом:

p-q=\frac{1}{\pi}\Delta\arg f(iy)=-I_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\infty)-w(-\infty).

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента f(iy) положительно, тогда f(z) имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство p-q=w(+\infty)-w(-\infty) может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть p+q, а w из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае w относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица[править | править исходный текст]

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

H_f=\begin{pmatrix}a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} & &\\
a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} & &\\
      & a_1 & a_3 & \dots & a_{1+2\cdot[\frac{n-1}{2}]} &\\
      & a_0 & a_2 & \dots & a_{2\cdot[\frac{n}{2}]} &\\
      & \vdots &      &       & \vdots &\\
      &        &      &       & \dots  & a_n \end{pmatrix},

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса[править | править исходный текст]

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами g и h, определяет последовательность a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

  • Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
  • Обратите также внимание, что в записи a_0^i число i — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность[править | править исходный текст]

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют устойчивые по Гурвицу многочлены.

Доказательство[править | править исходный текст]

Применив метод Гаусса к матрице H_f мы получим диагональную матрицу H_f^*. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы h_{j,j}^* трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу H_f, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты h^*_{j,j} соответствуют коэффициентам a_0^j, мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица[править | править исходный текст]

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как f(z) — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда p-q=n. Таким образом получаем условия на коэффициенты f(z), накладывая дополнительные условия w(+\infty)=n и w(-\infty)=0.

Наравне с теоремой Стилтьеса, теорема Рауса — Гурвица даёт способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразование устойчиво. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица даёт больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]