Теорема Риба об устойчивости

В математике Теорема Риба об устойчивости утверждает, что если слоение коразмерности один имеет замкнутый слой с конечной фундаментальной группой, то все его слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу. Доказана французским математиком Жоржем Рибом.

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема: Пусть $F$ гладкое (класса $C^{1}$) слоение коразмерности $k$ на многообразии $M$ и $L$ компактный слой с конечной группой голономии. Тогда всякая трубчатая окрестность слоя $L$ содержит меньшую окрестность $U$, состоящую из целых слоев слоения $F$ (т.н. насыщенную окрестность), все слои которой являются компактными и имеют конечную группу голономии. Более того, определена ретракция $\pi :U\to L$ такая, что для каждого слоя $L'\subset U$, отображение $\pi |_{L'}:L'\to L$ является конечнолистным накрытием и для каждой точки $y\in L$, прообраз $\pi ^{-1}(y)$ гомеоморфен диску $D^{k}$ и трансверсален слоям $F$.

В частности, если слой $L$ односвязен, то он обладает насыщенной окрестностью, слоение в которой диффеоморфно слоению $\{L\times t\}$ произведения $L\times D^{k}$.

Теорема также может быть сформулирована для некомпактного слоя.

Теорема Риба о глобальной стабильности

В теории слоений весьма интересным представляется вопрос о том, как наличие у слоения компактного слоя влияет на глобальную структуру слоения. Для некоторых классов слоений эта задача имеет решение.

Теорема: Пусть $F$ гладкое (класса $C^{1}$) слоение коразмерности 1 на замкнутом многообразии $M$. Если $F$ имеет компактный слой $L$ с конечной фундаментальной группой, то все слои $F$ также являются компактными и имеют конечную фундаментальную группу. Если слоение $F$ трансверсально ориентируемо, то каждый слой $F$ диффеоморфен $L$; при этом многообразие $M$ является тотальным пространством расслоения $f:M\to S^{1}$ над окружностью $S^{1}$ со слоем $L$.

Эта теорема верна также и для многообразия с краем, при условии, что слоение касается некоторых компонент границы, а другим трансверсально.. В этом случае, из неё следует теорема Риба о сфере.

Теорема Риба о глобальной стабильности неверна для слоений коразмерности большей единицы. Однако, для некоторых специальных классов слоений справедливы аналогичные результаты:

• При наличии специальной трансверсальной структуры:

Теорема: Пусть $F$ полное конформное слоение коразмерности $k\geq 3$ на связном многообразии $M$. Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои $F$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

• Для голоморфных слоений на кэлеровых многообразиях:

Теорема: Пусть $F$ голоморфное слоение коразмерности $k$ на компактном комплексном кэлеровом многообразии. Если $F$ имеет компактный слой с конечной группой голономии, то все слои $F$ являются компактными и имеют конечную группу голономии.

Литература

• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213 [5]