Теорема Римана об условно сходящихся рядах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теорема Римана об условно сходящихся рядах помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.

Пусть ряд $\mathbf{A}$ сходится условно, тогда для любого числа S $\in\mathbf{R}$ можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.

п·о·р

Доказательство

Составим ряд из положительных элементов ряда $\mathbf{A}$ и обозначим его $\mathbf{P}$ , а элементы ряда $\mathbf{P}$ обозначим $\mathbf{P_i} (i=1,...,\infty)$ . Соответственно ряд из отрицательных элементов $\mathbf{A}$ обозначим $\mathbf{Q}$ Следовательно ряд $\mathbf{A}$ можно представить как: $\mathbf{A}=\mathbf{P}-\mathbf{Q}$ . Исходя из свойств условно сходящихся рядов $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ — расходятся, а исходя из свойств остатка ряда все остатки $\mathbf{P}$ и $\mathbf{Q}$ — расходятся $\Rightarrow$ в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число. Пользуясь этим произведем перестановку членов ряда $\mathbf{A}$ : Сначала возьмем столько положительных членов ряда (не меняя их порядок), чтобы их сумма превзошла S: $\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}>$ S За ними запишем столько отрицательные члены ряда (не меняя их порядок), чтобы общая сумма была меньше S: $\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+...+\mathbf{p_k}-\mathbf{q_1}-\mathbf{q_2}-...-\mathbf{q_m}<$ S Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда $\mathbf{A}$ встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ , набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и S по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов: $\lim_{k\to\infty} \mathbf{p_k}=0$ и $\lim_{m\to\infty} \mathbf{q_m}=0$ , то новый ряд сходится к S. ■