Теорема Сарда

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.[1] Названа в честь американского математика Артура Сарда.[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини—Сарда,[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)[4] и Шломо Стернберга (более поздний общий результат)[5]. В общем случае теорема формулируется следующим образом:

Пусть U\, — открытое множество в пространстве \R^m и f: U \to\R^n — гладкая функция класса \,C^k, где число k\geqslant 1. Пусть S \subset U — множество критических точек функции \,f. Если k \geqslant m-n+1, то множество критических значений f(S)\, является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве \R^n.

Как показал Х. Уитни, степень гладкости \,k здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях \,m и \,n.[6] [7]

Пример[править | править исходный текст]

Рассмотрим тождественно постоянную функцию f \equiv f_0. Все точки её области определения U\, являются критическими, следовательно, S=U.\, Однако множество критических значений f(S)\, состоит из единственной точки \,f_0, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Лемма Сарда[править | править исходный текст]

Мера множества критических значений \,C^1-гладкой функции f: [a,b] \to\R^1 равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок [a,b]=[0,1].\, Выберем число \,\epsilon>0 и разобьем отрезок [0,1]\, на \,n равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной \,f' не превосходило \,\epsilon. Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция \,f непрерывна на отрезке [0,1]\,, и следовательно (Теорема Кантора — Гейне), равномерно непрерывна на нём, т. е. 
\forall \epsilon>0 \ \exist \delta>0 \ : \ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon.

Обозначим через \Delta_i\, те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции \,f, т. е. \exist \xi_i\in \Delta_i \ : \ f'(\xi_i)=0. Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка |f'(x)| \leqslant \epsilon для всех x \in \Delta_i, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек y_1,y_2 \in f(\Delta_i)\, выполнено неравенство 
|y_1-y_2| \leqslant \max_{x\in \Delta_i} |f'(x)| \cdot |\Delta_i| \leqslant \epsilon/n.

Покроем каждое множество f(\Delta_i)\, интервалом длины \,2\epsilon/n, тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит \,2\epsilon/n \cdot n = 2\epsilon. В силу произвольности выбора числа \,\epsilon это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого[править | править исходный текст]

Пусть M^m\, и N^n\, — два гладких многообразия положительных размерностей m\, и n\, и f: M^m \to N^n — гладкая функция класса \,C^k, где k\geqslant 1. Точка x\in M^m называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции f\, в ней меньше n.\, Точка y\in N^n называется неправильной, если y=f(x)\, хотя бы для одной неправильной точки x\in M^m. В случае m\geqslant n понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае m<n\, все точки многообразия M^m\, являются неправильными.

Если число k \geqslant m-n+1, то множество неправильных точек отображения f\, в многообразии N^n\, имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в N^n.\,

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким, см. [8] [9] или [10].

Другие аналоги[править | править исходный текст]

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в[13].

Литература[править | править исходный текст]

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
  • Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  • Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
  2. Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
  3. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
  4. Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
  5. Sternberg S. Lectures on differential geometry.
  6. Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
  7. Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
  8. Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
  9. Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
  10. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
  11. Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
  12. Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
  13. Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для C^1-гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.