Теорема Сильвестра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Сильвестра:

На плоскости дано конечное число точек, причем такое, что любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Тогда все данные точки лежат на одной прямой.


О доказательствах[править | править вики-текст]

Теорема Сильвестра знаменита тем, что её довольно сложно доказать напрямую и при этом простое доказательство состоит в переходе к её двойственной переформулировке:

На плоскости дано конечное число прямых, причем такое, что через любую точку пересечения двух данных прямых, проходит еще одна из данных прямых. Тогда все данные прямые проходят через одну точку.


Доказательство двойственной переформулировки[править | править вики-текст]

Sylvester.svg

Если одна из данных прямых, скажем \ell, не проходит через одну из точек пересечения, скажем p, то легко найти другую из точек пересечений, скажем p' на меньшем расстоянии до \ell чем p, но при этом не лежащей на \ell. Поскольку число пересечений конечно, приходим к противоречию.


Прямое доказательство[править | править вики-текст]

Прямое доказательство было найдено с полувековым запозданием Келли (англ.).

Допустим неколлинеарность точек данного множества. Выбираем пару: его точка A и прямая d, для которой расстояние от A до d минимальное положительное; такая пара существует ввиду конечности множеств точек и соединительных прямых. Отмечаем на d три точки: B, C и D из данного множества. Пусть точка P есть основание перпендикуляра, опущенного из A на d. Не умоляя общности, можно считать, что точки P, B и C следуют на d в указанном порядке; при этом точки P и B могут совпадать. Тогда расстояние от точки B до прямой AC положительно и меньше, чем от A до d. Противоречие.


Замечание[править | править вики-текст]

Поскольку в доказательстве никак не используется общая то, что все точки лежат в плоскости, теорема Сильвестра распространяется на множества в евклидовом пространстве произвольной размерности.