Теорема Слуцкого

Теоре́ма Слу́цкого в теории вероятностей увязывает вместе разные способы сходимости случайных величин.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и $X_n,Y_m: \Omega \to \mathbb{R},\, n,m\in \mathbb{N}$ — случайные величины. Тогда если

$X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\!\mathcal{D}} X$,

где $X:\Omega \to \mathbb{R}$ — случайная величина, и

$Y_m \to^{\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} c$,

где $c \in \mathbb{R}$ — фиксированная константа, то

$X_n + Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X + c$

и

$X_n \cdot Y_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} c \cdot X$.

Обобщение

Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Тогда

$f(X_n,Y_n) \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} f(X,c)$.

См. также

• Сходимость по вероятности;
• Сходимость по распределению.