Теорема Стюарта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Теорема Стюарта

Формулировка[править | править вики-текст]

Если точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, то

 AD^2 = p^2 = b^2\frac{x}{x+y}+c^2 \frac{y}{x+y} -  {xy},

где y=CD, и x=BD.


Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения[1].

Доказательство[править | править вики-текст]

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}

Первое уравнение домножим на CD, а второе на BD.

\overrightarrow{AD}\cdot CD=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{BD}\cdot CD

\overrightarrow{AD}\cdot BD=\overrightarrow{AC}\cdot BD+\overrightarrow{CD}\cdot BD

Теперь сложим полученные уравнения:

\overrightarrow{AD}\cdot BC=\overrightarrow{AB}\cdot CD+\overrightarrow{AC}\cdot BD

,так как

\overrightarrow{BD}\cdot CD +\overrightarrow{CD}\cdot BD=0.

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}\frac{CD}{BC}+\overrightarrow{AC}\frac{BD}{BC}

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\left (\overrightarrow{AD}  \right )^2=\left (\overrightarrow{AB}  \right )^2\left (\frac{CD}{BC}  \right )^2+\left (\overrightarrow{AC}  \right )^2\left (\frac{BD}{BC}  \right )^2+2 \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} \cdot \frac{CD}{BC}\cdot \frac{BD}{BC}

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}

Аналогично:

BC^2=AC^2-2 \overrightarrow{AC}\cdot  \overrightarrow{AB} +AB^2

2 \overrightarrow{AC}\cdot  \overrightarrow{AB}=AC^2+AB^2-BC^2

AD^2=AB^2\cdot \frac{CD^2}{BC^2}+AC^2\frac{BD^2}{BC^2}+AC^2\frac{CD\cdot BD}{BC^2}+AB^2\frac{CD\cdot BD}{BC^2}-CD\cdot BD

AD^2=AB^2\cdot \frac{CD}{BC}+AC^2\cdot \frac{BD}{BC}-CD\cdot BD

ч.т.д.

Примечание[править | править вики-текст]

Теорема Стюарта является следствием Теоремы Гюйгенса — Штейнера для системы материальных точек B и C.

История[править | править вики-текст]

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение[править | править вики-текст]

Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников.

Следствием теоремы Стюарта является теорема Птолемея, а её частным случаем — теорема Аполлония.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 30—31. — 288 с.

Литература[править | править вики-текст]

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53.
  • В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр.302-303.
  • Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.