Теорема Тонелли — Фубини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка[править | править исходный текст]

Пусть даны два пространства с \sigma-конечными мерами (X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2. Обозначим через (X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2) их произведение. Пусть функция f\colon X_1\times X_2\to\R интегрируема относительно меры \mu_1\otimes\mu_2. Тогда

  • функция x_1\to\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2) определена и интегрируема относительно \mu_1;
  • функция x_2\to\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1) определена и интегрируема относительно \mu_2;
  • имеют место равенства
\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_1}\left[\;\,\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2)\right]\,\mu_1(dx_1)

и

\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_2}\left[\;\,\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1)\right]\,\mu_2(dx_2).

Частные случаи[править | править исходный текст]

Теория вероятностей[править | править исходный текст]

Пусть (\Omega_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mathbb{P}_i),\;i=1,\;2 — вероятностные пространства, и X\colon\Omega_1\times\Omega_2\to\R — случайная величина на (\Omega_1\times\Omega_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2). Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ[править | править исходный текст]

Пусть f\colon D=[a,\;b]\times[c,\;d]\to\R функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике [a,\;b]\times[c,\;d], то есть f\in\R(D). Тогда

\iint\limits_D f(x,\;y)\,dx\,dy=\int\limits_a^b\int\limits_c^d f(x,\;y)\,dy\,dx=\int\limits_c^d\int\limits_a^b f(x,\;y)\,dx\,dy,

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Доказательство[править | править исходный текст]

Любое разбиение \lambda множества [a,\;b]\times[c,\;d] получено некоторыми разбиениями \lambda_{x} отрезка X=[a,\;b] и \lambda_{y} отрезка [c,\;d], при этом объём любого прямоугольника X_{i}\times Y_{j} определяется V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot\left|Y_{j}\right|, где X_{i},Y_{j} ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла \int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy и нижних и верхних интегральных сумм функции \mathcal{L}\left(f,\lambda\right) и \mathcal{U}\left(f,\lambda\right):
\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\inf\limits _{{x\in X_{i}, y\in Y_{j}}
}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq\sum\limits _{i}\inf\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\inf\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|
\sum\limits_{i}\inf\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|\leq\int\limits _{X}\,dx\int\limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\, dy\leq\sum\limits _{i}\sup\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|
\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\sup\limits _{{x\in X_{i},y\in Y_{j}}
}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq\sum\limits _{i}\sup\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\sup\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|
Тогда при интегрируемости f по X\times Y, то есть равенстве \sup\limits _{\lambda}\,\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\inf\limits _{\lambda}\,\mathcal{U}\left(f,\lambda\right) из вышеуказанных оценок интеграл \int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy также существует и имеет такое же значение, как и \iint\limits_{X\times Y} f(x,\;y)\,dx\,dy

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]