Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое $m$-мерное многообразие допускает гладкое вложение в $2m$-мерное евклидово пространство.

Этот результат оптимален, например, если $m$ — степень двойки, то $m$-мерное проективное пространство невозможно вложить в $(2m-1)$-мерное евклидово пространство.

О доказательстве

Случаи $m=1$ и $m=2$ «делаются руками». В случае $m\geqslant 3$ легко видеть, что гладкое отображение общего положения $f\colon M\to\R^{2m}$ является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:

Трюк Уитни

Пусть $p\in\R^{2m}$ есть точка самопересечения и $x,y\in M$ такие, что $f(x)=f(y)=p$. Соединим $x$ и $y$ гладкой кривой $c\colon[0,1]\to M.$ Тогда $f\circ c$ есть замкнутая кривая в $\R^{2m}$. Построим отображение $h\colon D^2\to\R^{2m}$ с границей $f\circ c$.

В общем положении, $h$ является вложением (как раз здесь мы используем то, что $m\geqslant 3$). Тогда можно продеформировать многообразие $M$ вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.

Вариации и обобщения

Пусть $M$ есть гладкое $m$-мерное многообразие, $m>1$.

• Если $m$ не является степенью двойки, тогда существует вложение $M$ в $\R^{2m-1}$
• $M$ может быть погружено в $\R^{2m-1}$
  • Более того $M$ может выть погружено в $\R^{2m-a}$, где $a$ есть число единиц в двоичном представлении $m$.
    • Последний результат оптимален, для любого $m$ можно можно построить $m$-мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое не возможно погрузить в $\R^{2m-a-1}$.

Литература

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045> 
• Классификация вложений (англ.)