Теорема Уитни о вложении

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое m-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2m-мерное евклидово пространство.

Этот результат оптимален, например, если m — степень двойки, то m-мерное проективное пространство невозможно вложить в (2m-1)-мерное евклидово пространство.

О доказательстве[править | править исходный текст]

Случаи m=1 и m=2 «делаются руками». В случае m\geqslant 3 легко видеть, что гладкое отображение общего положения f\colon M\to\R^{2m} является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:

Трюк Уитни[править | править исходный текст]

Пусть p\in\R^{2m} есть точка самопересечения и x,y\in M такие, что f(x)=f(y)=p. Соединим x и y гладкой кривой c\colon[0,1]\to M. Тогда f\circ c есть замкнутая кривая в \R^{2m}. Построим отображение h\colon D^2\to\R^{2m} с границей f\circ c.

В общем положении, h является вложением (как раз здесь мы используем то, что m\geqslant 3). Тогда можно продеформировать многообразие M вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Пусть M есть гладкое m-мерное многообразие, m>1.

Литература[править | править исходный текст]