Теорема Уитни о вложении

Теорема Уитни о вложении утверждает что

Произвольное гладкое $m$ -мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в $2m$ -мерное евклидово пространство.

Этот результат оптимален, например, если $m$ — степень двойки, то $m$ -мерное проективное пространство невозможно вложить в $(2m-1)$ -мерное евклидово пространство.

О доказательстве [править]

Случаи $m=1$ и $m=2$ «делаются руками». В случае $m\geqslant 3$ легко видеть, что гладкое отображение общего положения $f\colon M\to\R^{2m}$ является погружением с трансверсальными самопересечениями. Избавиться от этих самопересечений можно, несколько раз применив трюк Уитни:

Трюк Уитни [править]

Пусть $p\in\R^{2m}$ есть точка самопересечения и $x,y\in M$ такие, что $f(x)=f(y)=p$ . Соединим $x$ и $y$ гладкой кривой $c\colon[0,1]\to M.$ Тогда $f\circ c$ есть замкнутая кривая в $\R^{2m}$ . Построим отображение $h\colon D^2\to\R^{2m}$ с границей $f\circ c$ .

В общем положении, $h$ является вложением (как раз здесь мы используем то, что $m\geqslant 3$ ). Тогда можно продеформировать многообразие $M$ вдоль вложенного диска так, чтобы точка самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку.

Вариации и обобщения [править]

Пусть $M$ есть гладкое $m$ -мерное многообразие, $m>1$ .

Если $m$ не является степенью двойки, тогда существует вложение $M$ в $\R^{2m-1}$
может быть погружено в
- Более того может быть погружено в , где есть число единиц в двоичном представлении .
  - Последний результат оптимален, для любого $m$ можно можно построить $m$ -мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в $\R^{2m-a-1}$ .