Теорема Фальтингса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода g>1. Выдвинута Морделлом в 1922-м. Позже гипотеза была обобщена с поля \mathbb{Q} на произвольное числовое поле. Была доказана Фальтингсом в 1983-м и теперь также называется теоремой Фальгтинса.

Формулировка[править | править вики-текст]

Пусть C — неособая алгебраическая кривая рода g над полем \mathbb{Q}. Тогда множество рациональных точек C следующее:

(Это теорема Морделла, позднее обобщённая до теоремы Морделла — Вейля). Более того теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.

  • Случай g>1: в соответствии с гипотезой Морделла, сейчас теоремой Фалгтинса, C имеет конечное число рациональных точек.

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство Фальтингса использует известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тэйта и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию Neron model. Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Пауло Войта. Более элементарный вариант доказательства Войта был дан Энрико Бомбьери.

Следствия[править | править вики-текст]

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

  • Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек;
  • Гипотезу Шафаревича
  • Теорему isogeny

Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича было сделано Паршиным в 1971-м.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного n>4 существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения a^n+b^n=c^n, для таких n кривая x^n+y^n=1 имеет род больший 1.

Обобщения[править | править вики-текст]

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой C с конечно порождённой подгруппой \Gamma абелева многообразия A. Заменяя C на произвольное подмногообразие A и \Gamma на произвольную подгруппу конечного ранга A, мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла-Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри - Ленга, утверждающая, что если X — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем k, то множество k-рациональных точек X(k) нигде не плотно в топологии Зарисского в X. Более общие гипотезы были выдвинуты потом Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963-м и Grauert-ом в 1965-м. Coleman в 1990 году нашел и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература[править | править вики-текст]

  • Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
  • Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
  • А.Ю.Вайнтроб, А.Б.Сосинский «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.

Ссылки[править | править вики-текст]