Теорема Фату

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предположим, что у нас есть функция f, аналитическая в единичном круге \Delta=\{z:|z|<1\}. В определенных случаях очень нужно установить условия, при которых она может быть аналитически продолжена на единичную окружность \partial\Delta.

Для этого применяется следующий метод — изучение поведения функции на окружностях вида {\partial\Delta}_r=\{z:|z|=r<1\}. Для этого введем вспомогательную функцию f_r(e^{i\varphi})=f(re^{i\varphi}). Видно, что поведение функции f на \partial\Delta зависит от поведения семейства функций \{f_r\} при r\to 1. Пользуясь терминологией функционального анализа, теперь можно сформулировать собственно теорему:

Теорема[править | править вики-текст]

Пусть f аналитична в \Delta и для неё конечна норма Харди:

\lVert f\rVert_{H^p}=\sup_{0<r<1}\lVert f_r\rVert_{L^p(\partial\Delta)}<\infty

Тогда будет иметь место поточечная сходимость почти всюду семейства функций \{f_r\} к некоторой функции f_1\in L^p(\partial\Delta).